MENENTUKAN NILAI VARIABEL DALAM PERSAMAAN KUADRAT

  1. Jika persamaan kuadrat x2 − 4x + 3 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 dan persamaan kuadrat x2 − px + q = 0 mempunyai akar (x1 + 2) dan (x2 + 2), maka nilai p dan q ialah ….
    A. 15 dan 8
    B. 8 dan 15
    C. 10 dan 15
    D. 15 dan 10
    E. 10 dan 20

    Pembahasan :
    Tinjau persamaan kuadrat yang pertama.
    ⇒ x2 − 4x + 3 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -4, dan c = 3

    Jumlah akar :

    ⇒ x1 + x2 = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 = -(-4)
    1

    ⇒ x1 + x2 = 4

    Hasil kali akar :

    ⇒ x1.x2 = c
    a
    ⇒ x1.x2 = 3
    1

    ⇒ x1.x2 = 3

    Tinjau persaman kuadrat yang kedua.
    ⇒ x2 − px + q = 0
    Diketahui : a = 1, b = -p, dan c = q

    Jumlah akar :

    ⇒ (x1 + 2) + (x2 + 2) = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 + 4 = -(-p)
    1

    ⇒ 4 + 4 = p
    ⇒ p = 8

    Hasil kali akar :

    ⇒ (x1 + 2).(x2 + 2) = c
    a
    ⇒ x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4 = q
    1

    ⇒ 3 + 2(4) + 4 = q
    ⇒ q = 15
    Kaprikornus p = 8 dan q = 15

    Jawaban : B

  2. Persamaan kuadrat x2 − 4x + n = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika persamaan kuadrat x2 − mx + 16 = 0 mempunyai akar-akar x12 dan x22, maka nilai 2m + 4n ialah ….
    A. 32 D. 25
    B. 30 E. 20
    C. 28

    Pembahasan :
    Tinjau persamaan kuadrat yang pertama.
    ⇒ x2 − 4x + n = 0
    Diketahui : a = 1, b = -4, dan c = n

    Jumlah akar :

    ⇒ x1 + x2 = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 = -(-4)
    1

    ⇒ x1 + x2 = 4

    Hasil kali akar :

    ⇒ x1.x2 = c
    a
    ⇒ x1.x2 = n
    1

    ⇒ x1.x2 = n

    Tinjau persaman kuadrat yang kedua.
    ⇒ x2 − mx + 16 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -m, dan c = 16

    Jumlah akar :

    ⇒ x12 + x22 = -b
    a
    ⇒ (x1 + x2)2 − 2x1.x2 = -(-m)
    1

    ⇒ (4)2 − 2(n) = m
    ⇒ 16 − 2n = m
    ⇒ m = 16 − 2n

    Hasil kali akar :

    ⇒ x12.x22 = c
    a
    ⇒ (x1.x2)2 = 16
    1

    ⇒ n2= 16
    ⇒ n = 4
    ⇒ m = 16 – 2(4) = 8
    Kaprikornus 2m + 4n = 2(8) + 4(4) = 32

    Jawaban : A

  3. Persamaan kuadrat 3x2 − (a + 2)x + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika persamaan kuadrat x2 − (4b + 2)x + b = 0 mempunyai akar-akar 1⁄x1 dan 1⁄x2 , maka nilai a + 4b ialah ….
    A. 18 D. 25
    B. 20 E. 30
    C. 21

    Pembahasan :
    Tinjau persamaan kuadrat yang pertama.
    ⇒ 3x2 − (a + 2)x + 4 = 0
    Diketahui : a = 3, b = -(a + 2), dan c = 4

    Jumlah akar :

    ⇒ x1 + x2 = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 = a + 2
    3

    Hasil kali akar :

    ⇒ x1.x2 = c
    a
    ⇒ x1.x2 = 4
    3

    Tinjau persaman kuadrat yang kedua.
    ⇒ x2 − (4b + 2)x + b = 0
    Diketahui : a = 1, b = -(4b + 2), dan c = b

    Jumlah akar :

    ⇒ 1⁄x1 + 1⁄x2 = -b
    a
    x1 + x2 = 4b + 2
    x1.x2 1

    x1 + x2 = 4b + 2 (x1.x2)

    a + 2 = (4b + 2) 4
    3 3

    ⇒ a + 2 = 16b + 8
    ⇒ a = 16b + 6

    Hasil kali akar :

    ⇒ 1⁄x1.1⁄x = c
    a
    1 = b
    x1.x2 1
    ⇒ b(x1.x2) = 1
    43 b = 1
    ⇒ b = 34

    Kaprikornus nilai dari a + 4b ialah :
    ⇒ a + 4b = 16b + 6 + 4(34)
    ⇒ a + 4b = 16(34) + 6 + 4(34)
    ⇒ a + 4b = 12 + 6 + 3
    ⇒ a + 4b = 21

    Jawaban : C

  4. Persamaan kuadrat x2 − 6x + 5a + 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika persamaan kuadrat x2 + nx + 2n = 0 mempunyai akar-akar (x1 − 6) dan (x2 − 6), maka nilai 2n + a ialah ….
    A. 12 D. 18
    B. 14 E. 20
    C. 16

    Pembahasan :
    Tinjau persamaan kuadrat yang pertama.
    ⇒ x2 − 6x + 5a + 2 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -6, dan c = 5a + 2

    Jumlah akar :

    ⇒ x1 + x2 = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 = -(-6)
    1

    ⇒ x1 + x2 = 6

    Hasil kali akar :

    ⇒ x1.x2 = c
    a
    ⇒ x1.x2 = 5a + 2
    1

    ⇒ x1.x2 = 5a + 2

    Tinjau persaman kuadrat yang kedua.
    ⇒ x2 + nx + 2n = 0
    Diketahui : a = 1, b = n, dan c = 2n

    Jumlah akar :

    ⇒ (x1 − 6) + (x2 − 6) = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 − 12 = -(n)
    1

    ⇒ 6 − 12 = -n
    ⇒ n = 6

    Hasil kali akar :

    ⇒ (x1 − 6).(x2 − 6) = c
    a
    ⇒ x1.x2 − 6(x1 + x2) + 36 = 2n
    1

    ⇒ 5a + 2 − 6(6) + 36 = 2(6)
    ⇒ 5a + 2 = 12
    ⇒ 5a = 10
    ⇒ a = 2
    Kaprikornus 2n + a = 2(6) + 2 = 14

    Jawaban : B

  5. Persamaan kuadrat 2x2 − mx + 2m = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika persamaan kuadrat x2 + nx + 32 = 0 mempunyai akar-akar 4x1 dan 4x2 , maka nilai 5m − 2n ialah ….
    A. 8 D. 13
    B. 10 E. 15
    C. 11

    Pembahasan :
    Tinjau persamaan kuadrat yang pertama.
    ⇒ 2x2 − mx + 2m = 0
    Diketahui : a = 2, b = -m, dan c = 2m

    Jumlah akar :

    ⇒ x1 + x2 = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 = -(-m)
    1

    ⇒ x1 + x2 = m

    Hasil kali akar :

    ⇒ x1.x2 = c
    a
    ⇒ x1.x2 = 2m
    1

    ⇒ x1.x2 = 2m

    Tinjau persaman kuadrat yang kedua.
    ⇒ x2 + nx + 32 = 0
    Diketahui : a = 1, b = n, dan c = 32

    Jumlah akar :

    ⇒ 4x1 + 4x2 = -b
    a
    ⇒ 4(x1 + x2) = -(n)
    1

    ⇒ 4m = -n

    Hasil kali akar :

    ⇒ 4x1 .4x2 = c
    a
    ⇒ 16 x1.x2 = 32
    1

    ⇒ 16(2m) = 32
    ⇒ m = 1
    ⇒ n = -4m = -4
    Kaprikornus 5m − 2n = 5 − 2(-4) = 13

    Jawaban : D