PEMBAHASAN SOAL MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU

Model soal yang umum dalam persamaan kuadrat antara lain menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat, menentukan sifat akar, menyusun persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya mempunyai kekerabatan dengan akar suatu persamaan kuadrat tertentu yang diketahui nilainya, melihat kekerabatan variabel dan akar-akarnya, dan sebagainya. Konsep yang harus kita pahami untuk menjawab soal-soal ibarat itu antara lain bentuk umum persamaan kuadrat, kekerabatan nilai deskriminan dengan sifat-sifat akar, penyelesaian persamaan kuadrat, konsep jumlah dan hasil kali akar, dan cara menyusun persamaan kuadrat baru.

Pada kesempatan ini kita akan membahas beberapa pola soal wacana persamaan kuadrat yang akan dibahas secara bertahap. Anda mungkin menemukan artikel dengan judul yang hampir sama namun itu hanya menawarkan bahwa artikel tersebut merupakan kelanjutan atau pembahasan yang lebih dulu dari artikel ini.

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

  1. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x + 4 = 0 yaitu m dan n. Persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya (m + 2) dan (n + 2) yaitu ….
    A. x2 − 2x + 4 = 0  D. x2 + 4x + 2 = 0 
    B. x2 + 2x + 4 = 0  E. x2 − 2x + 2 = 0 
    C. x2 − 4x + 2 = 0 

    Pembahasan :
    Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, kita tidak harus mencari nilai m dan n sebab dengan menggunakan konsep jumlah dan hasil kali akar kita dapat mengerjakannya. Oleh sebab itu, jikalau bertemu soal ibarat ini, jangan panik saat persamaan kuadratnya sulit diakarkan, yang perlu anda lakukan hanya mencari jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

    Sekarang tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
    ⇒ x2 + 2x + 4 = 0
    Diketahui : a = 1, b = 2, dan c = 4.

    Jumlah akarnya :

    ⇒ m + n = -b
    a
    ⇒ m + n = -2
    1
    ⇒ m + n = -2

    Hasil kali akarnya :

    ⇒ m.n = c
    a
    ⇒ m.n = 4
    1

    ⇒ m.n = 4

    Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
    Jumlah akarnya :
    ⇒ (m + 2) + (n + 2) = (m + n) + 4
    ⇒ (m + 2) + (n + 2) = -2 + 4
    ⇒ (m + 2) + (n + 2) = 2

    Hasil kali akarnya :
    ⇒ (m + 2).(n + 2) = m.n + 2m + 2n + 4
    ⇒ (m + 2).(n + 2) = m.n + 2(m + n) + 4
    ⇒ (m + 2).(n + 2) = 4 + 2(-2) + 4
    ⇒ (m + 2).(n + 2) = 4

    Selanjutnya susun persamaan kuadrat barunya :
    ⇒ x2 − {(m + 2) + (n + 2)}x + (m + 2).(n + 2) = 0
    ⇒ x2 − 2x + 4 = 0 

    Cara Praktis :
    Jika akar-akar persamaan kuadrat yang gres yaitu (x1 + n) dan (x2 + n), maka persamaan kuadrat gres itu dapat kita cari dengan rumus :

    a (x − n)2 + b(x − n) + c = 0

    Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang lama :
    ⇒ x2 + 2x + 4 = 0
    Diketahui : a = 1, b = 2, dan c = 4.
    Dari (m + 2) dan (n + 2), maka n = 2.

    ⇒ a (x − n)2 + b(x − n) + c = 0
    ⇒ 1 (x − 2)2 + 2(x − 2) + 4 = 0
    ⇒ x2 − 4x + 4 + 2x − 4 + 4 = 0
    ⇒ x2 − 2x + 4 = 0

    Jawaban : A

  2. Diketahui m dan n merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 − 3x + 6 = 0. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/m dan 1/n yaitu …..
    A. 6x2 + 3x + 2 = 0 D. 6x2 − 2x + 3 = 0
    B. 6x2 − 3x + 2 = 0 E. 6x2 + 2x − 3 = 0
    C. 6x2 − 3x − 2 = 0

    Pembahasan :
    Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
    ⇒ 2x2 − 3x + 6 = 0
    Diketahui : a = 2, b = -3, dan c = 6.

    Jumlah akarnya :

    ⇒ m + n = -b
    a
    ⇒ m + n = 3
    2

    Hasil kali akarnya :

    ⇒ m.n = c
    a
    ⇒ m.n = 6
    2

    ⇒ m.n = 3

    Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
    Jumlah akarnya :

    1 + 1 = m + n
    m n m.n
    1 + 1 = 32
    m n 3
    1 + 1 = 1
    m n 2

    Hasil kali akarnya :

    1 . 1 = 1
    m n m.n
    1 . 1 = 1
    m n 3

    Dengan demikian, persamaan kuadrat gres yaitu :
    ⇒ x2 − (1/m + 1/n)x + (1/m.1/n) = 0
    ⇒ x2 − ½x + ⅓ = 0

    ⇒ 6x2 − 3x + 2 = 0

    Cara Praktis :
    Jika akar-akar persamaan kuadrat yang gres yaitu 1/x1 dan 1/x2 (berkebalikan), maka persamaan kuadrat gres itu dapat kita cari dengan rumus :

    cx2 + bx + a = 0

    Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang lama :
    ⇒ 2x2 − 3x + 6 = 0
    Diketahui : a = 2, b = -3, dan c = 6.

    Persaman kuadrat barunya :
    ⇒ cx2 + bx + a = 0
    ⇒ 6x2 + (-3)x + 2 = 0
    ⇒ 6x2 − 3x + 2 = 0

    Jawaban : B

  3. Jika x1 dan x2 merupakan aka-akar persamaan kuadrat  2x2 + x − 4 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya (x1 – 4) dan (x2 – 4) yaitu …..
    A. 2x2 + 32x − 17 = 0 D. 2x2 + 17x + 32 = 0
    B. 2x2 + 32x + 17 = 0 E. 2x2 + 17x − 32 = 0
    C. 2x2 − 17x − 32 = 0

    Pembahasan :
    Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
    ⇒ 2x2 + x − 4 = 0
    Diketahui : a = 2, b = 1, dan c = -4.

    Jumlah akarnya :

    ⇒ x1 + x2 = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 = -1
    2

    Hasil kali akarnya :

    ⇒ x1.x2 = c
    a
    ⇒ x1.x2 = -4
    2

    ⇒ x1.x2 = -2

    Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
    Jumlah akarnya :
    ⇒ (x1 – 4) + (x2 – 4) = (x1 + x2) − 8
    ⇒ (x1 – 4) + (x2 – 4) = -½ − 8
    ⇒ (x1 – 4) + (x2 – 4) = –172

    Hasil kali akarnya :
    ⇒ (x1 – 4).(x2 – 4) = (x1.x2) − 4×1 − 4×2 + 16
    ⇒ (x1 – 4).(x2 – 4) = (x1.x2) − 4(x1 + x2) + 16
    ⇒ (x1 – 4).(x2 – 4) = -2 − 4(-½) + 16
    ⇒ (x1 – 4).(x2 – 4) = -2 + 2 + 16
    ⇒ (x1 – 4).(x2 – 4) = 16

    Kaprikornus persamaan kuadrat barunya :
    ⇒ x2 − {(x1 – 4) + (x2 – 4)}x + (x1 – 4).(x2 – 4) = 0
    ⇒ x2 − (-172)x + 16 = 0
    ⇒ 2x2 + 17x + 32 = 0 

    Cara Praktis :
    Jika akar-akar persamaan kuadrat yang gres yaitu (x1 – n) dan (x2 – n), maka persamaan kuadrat gres itu dapat kita cari dengan rumus :

    a (x + n)2 + b(x + n) + c = 0

    Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang lama :
    ⇒ 2x2 + x − 4 = 0
    Diketahui : a = 2, b = 1, dan c = -4.
    Dari  (x1 – 4) dan (x2 – 4), diketahui n = 4.

    Persamaan kuadart barunya yaitu :
    ⇒ a (x + n)2 + b(x + n) + c = 0
    ⇒ 2 (x + 4)2 + 1(x + 4) + (-4) = 0
    ⇒ 2 (x2 + 8x + 16) + x + 4 − 4 = 0
    ⇒ 2x2 + 16x + 32 + x = 0
    ⇒ 2x2 + 17x + 32 = 0

    Jawaban : D

  4. Akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 5x − 10 = 0 yaitu x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -x1 dan -x2 yaitu ….. 
    A. x2 − 10x − 5 = 0 D. x2 + 5x − 10 = 0
    B. x2 − 5x + 10 = 0 E. x2 + 10x − 5 = 0
    C. x2 − 5x − 10 = 0

    Pembahasan :
    Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
    ⇒ x2 + 5x − 10 = 0
    Diketahui : a = 1, b = 5, dan c = -10.

    Jumlah akarnya :

    ⇒ x1 + x2 = -b
    a
    ⇒ x1 + x2 = -5
    1

    ⇒ x1 + x2 = -5

    Hasil kali akarnya :

    ⇒ x1.x2 = c
    a
    ⇒ x1.x2 = -10
    1

    ⇒ x1.x2 = -10

    Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
    Jumlah akarnya :
    ⇒ -x1 + (-x2) = -x1 – x2
    ⇒ -x1 + (-x2) = -(x1 + x2)
    ⇒ -x1 + (-x2) = -(-5)
    ⇒ -x1 + (-x2) = 5

    Hasil kali akarnya :
    ⇒ -x1(-x2) = x1.x2
    ⇒ -x1(-x2) = -10

    Maka persamaan kuadrat barunya yaitu :
    ⇒ x2 − {-x1 + (-x2)}x + -x1(-x2) = 0
    ⇒ x2 − 5x + (-10) = 0
    ⇒ x2 − 5x − 10 = 0 

    Cara Praktis :
    Jika akar-akar persamaan kuadrat yang gres yaitu -x1 dan -x2, maka persamaan kuadrat gres itu dapat kita cari dengan rumus :

    ax2 − bx + c = 0

    Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang lama :
    ⇒ x2 + 5x − 10 = 0
    Diketahui : a = 1, b = 5, dan c = -10.
    Persamaan kuadart barunya yaitu :
    ⇒ ax2 − bx + c = 0
    ⇒ x2 − 5x + (-10) = 0
    ⇒ x2 − 5x − 10 = 0

    Jawaban : C

  5. Diketahui persamaan kuadrat  x2 + 4x + 6 = 0 memiliki akar-akar m dan n. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2m dan 2n yaitu …..
    A. x2 + 8x + 24 = 0 D. x2 − 24x + 8 = 0
    B. x2 − 8x + 24 = 0 E. x2 + 24x − 8 = 0
    C. x2 − 8x − 24 = 0

    Pembahasan :
    Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
    ⇒ x2 + 4x + 6 = 0
    Diketahui : a = 1, b = 4, dan c = 6.

    Jumlah akarnya :

    ⇒ m + n = -b
    a
    ⇒ m + n = -4
    1

    ⇒ m + n = -4

    Hasil kali akarnya :

    ⇒ m.n = c
    a
    ⇒ m.n = 6
    1

    ⇒ m.n = 6

    Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
    Jumlah akarnya :
    ⇒ 2m + 2n = 2(m + n)
    ⇒ 2m + 2n = 2(-4)
    ⇒ 2m + 2n = -8

    Hasil kali akarnya :
    ⇒ 2m.2n = 4m.n
    ⇒ 2m.2n = 4(6)
    ⇒ 2m.2n = 24

    Selanjutnya susun persamaan kuadrat barunya :
    ⇒ x2 − (2m + 2n)x + 2m.2n = 0
    ⇒ x2 − (-8)x + 24 = 0
    ⇒ x2 + 8x + 24 = 0 

    Cara Praktis :
    Jika akar-akar persamaan kuadrat yang gres yaitu nx1 dan nx2, maka persamaan kuadrat gres itu dapat kita cari dengan rumus :

    a (xn)2 + b(xn) + c = 0

    Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang lama :
    ⇒ x2 + 4x + 6 = 0
    Diketahui : a = 1, b = 4, dan c = 6.
    Dari 2m dan 2n diketahui n = 2.

    Maka persamaan kuadrat barunya yaitu :
    ⇒ a (xn)2 + b(xn) + c = 0
    ⇒ 1(x2)2 + 4(x2) + 6 = 0
    ⇒ ¼ x2 + 2x + 6 = 0
    ⇒ x2 + 8x + 24 = 0

    Jawaban : A