Pembahasan Soal Ujian Nasional Proyeksi Vektor

Ujian Nasional Matematika – Vektor. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika perihal vektor. Biasanya, ada dua soal perihal vektor yang keluar dalam ujian nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal vektor yang paling sering muncul ialah menentukan proyeksi vektor orthogonal, menentukan nilai koefisien berdasarkan proyeksi vektor, dan menentukan panjang proyesi vektor atau proyeksi skalar orthogonal.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Vektor

  1. Diketahui koordinat A(-4, 2, 3), B(7, 8, -1) dan C(1, 0 ,7). Jika AB mewakili vektor u, AC mewakili vektor v, maka proyeksi vektor u pada v ialah ….
    1. 3i – 6/5j + 12/5k
    2. 3√5i – 6/5j + 12/5k
    3. 9/5(√5i – 2j + 4k)
    4. 17/45(√5i – 2j + 4k)
    5. 9/55(√5i – 2j + 4k)
    Pembahasan :
    Kordinat A, B, dan C mampu kita tulis dalam bentuk kolom sebagai berikut :

    A = -4  , B = 7  dan C = 1
    2 8 0
    3 -1 7

    AB mewakili vektor u, maka :
    ⇒ u = AB
    ⇒ u = B – A

    ⇒ u = 7  −  -4  =  11
    8 2 6
    -1 3 -4

    AC mewakili vektor v, maka :
    ⇒ v = AC
    ⇒ v = C – A

    ⇒ v = 1  −  -4  =  5
    0 2 -2
    7 3 4

    Proyeksi vektor u pada v dirumuskan sebagai berikut :

    Proyeksi u pada v = u . v  . v
    |v|2
    Berdasarkan rumus di atas, kita mampu mencari u.v terlebih dahulu.

    ⇒ u.v = 11  .  5  = 55 – 12 – 16 = 27 
    6 -2
    -4 4

    Selanjutnya kita cari kuadrat dari besar vektor v :
    ⇒ |v|2 = (√52 + (-2)2 + 42)2
    ⇒ |v|2 = (√45)2
    ⇒ |v|2 = 45

    Langkah terakhir kita tentukan proyeksi u pada v sebagai berikut :

    ⇒ Proyeksi u pada v = u . v  . v
    |v|2

    ⇒ Proyeksi u pada v = (27/45) 5
    -2
    4

    ⇒ Proyeksi u pada v = 3/5 5
    -2
    4

    ⇒ Proyeksi u pada v =  3
    -6/5
    12/5

    Kaprikornus proyeksi vektor u pada v ialah 3i – 6/5j + 12/5k.

    Jawaban : A
    Untuk pembahasan lebih lanjut perihal proyeksi vektor, kau mampu membaca pembahasan referensi soal perihal proyeksi skalar orthogonal dan peroyeksi vektor orthogonal melalui link di bawah ini.

    Read more : Contoh Soal dan Pembahasan Proyeksi Vektor.

  1. Diketahui vektor a = [-2 3 4] dan b = [x 0 3]. Jika panjang proyeksi vektor a pada b ialah 4/5, maka salah satu nilai x yang memenuhi ialah …
    A. 6 D. -4
    B. 4 E. -6
    C. 2
    Pembahasan :
    Panjang proyeksi vektor a pada b dapat dirumuskan sebagai berikut :

    Panjang Proyeksi a pd b = a . b
    |b|

    Dari soal diketahui panjang proyeksi vektor a pada b ialah 4/5, maka :

    ⇒ 4/5 = a . b
    |b|
    ⇒ 4/5 = [-2 3 4] . [x 0 3]
    √(x2 + 02 + 32)
    ⇒ 4/5 = -2x + 0 + 12
    √(x2 + 9)

    ⇒ 5(-2x + 12) = 4(√(x2 + 9))
    ⇒ -10x + 60 = 4√(x2 + 9)
    ⇒ (-10x + 60)2 = {4√(x2 + 9)}2

    ⇒ 100x2 + 1200x + 3600 = 16(x2 + 9)
    ⇒ 100x2 + 1200x + 3600 = 16x2 + 144
    ⇒ 84x2 + 1200x + 3456 = 0
    ⇒ 7x2 + 100x + 288 = 0
    ⇒ (7x – 72)(x – 4) = 0
    ⇒ x = 72/7 atau x = 4

    Jawaban : B

  1. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal AB pada AC ialah ….
    1. j + k
    2. i + j
    3. -i + j
    4. i + j ½k
    5. -½i – j
    Pembahasan :
    Kordinat A, B, dan C mampu kita tulis dalam bentuk kolom sebagai berikut :

    A = 0  , B = 2  dan C = 0
    0 2 2
    0 0 2

    Vektor AB :
    ⇒ AB = B – A

    ⇒ AB = 2  −  0  =  2
    2 0 2
    0 0 0

    Vektor AC :
    ⇒ AC = C – A

    ⇒ AC = 0  −  0  =  0
    2 0 2
    2 0 2

    Secara umum proyeksi vektor a ke vektor b dapat dirumuskan menyerupai gambar di bawah ini. Pada rumus tersebut, c merupakan vektor proyeksi a pada b.

    Pembahasan Soal Ujian Nasional Proyeksi Vektor

     
    Sesuai dengan rumus di atas, kalau kita msialkan proyeksi vektor AB pada AC dengan D, maka proyeksi tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut :

    D = AB . AC  . AC
    |AC|2

    Berdasarkan rumus di atas, kita mampu mencari AB.AC terlebih dahulu.

    ⇒ AB.AC = 2  .  0  = 0 + 4 + 0 = 4 
    2 2
    0 2

    Selanjutnya kita cari kuadrat dari besar vektor AC :
    ⇒ |AC|2 = (√02 + 22 + 22)2
    ⇒ |AC|2 = (√8)2
    ⇒ |AC|2 = 8

    Langkah terakhir kita tentukan proyeksi AB pada AC sebagai berikut :

    ⇒ D = AB . AC  . AC
    |AC|2

    ⇒ D = (4/8) 0
    2
    2

    ⇒ D = 1/2 0
    2
    2

    ⇒ D =  0
    1
    1

    Kaprikornus proyeksi vektor AB pada AC ialah j + k.

    Jawaban : A

    Simak pembahasan perihal perkalian vektor untuk melihat perbedaan antara perkalian titik dan perkalian silang pada vektor. Pada link di bawah ini, dibahas beberapa referensi perihal perkalian titik dua vektor.

    Read more : Contoh Soal dan Pembahasan Perkalian Titik Vektor.

  1. Diketahui vektor a = 3i – 4j – 4k, b = 2i – j + 3k, dan c = 4i – 3j + 5k. Panjang proyeksi vektor (a + b) pada c ialah ….
    A. 3√2 D. 6√2
    B. 4√2 E. 7√2
    C. 5√2
    Pembahasan :
    Vektor a, b, dan c mampu kita tulis dalam bentuk kolom sebagai berikut :

    a = 3  , b = 2  dan c = 4
    -4 -1 -3
    -4 3 5

    Vektor (a + b) :
    ⇒ (a+b) = a + b

    ⇒ (a+b) = 3  +  2  =  5
    -4 -1 -5
    -4 3 -1

    Jika kita misalkan proyeksi vektor (a+b) ke c ialah d, maka panjang proyeksi vektor (a+b) ke c dapat dirumuskan :

    |d| = (a+b) . c
    |c|

    Sebelumnya kita cari (a+b).c terlebih dahulu.

    ⇒ (a+b) . c = 5  .  4  = 20 + 15 – 5 = 30 
    -5 -3
    -1 5

    Selanjutnya kita cari besar vektor c :
    ⇒ |c| = √(42 + -32 + 52)
    ⇒ |c| = √50
    ⇒ |c| = 5√2

    Dengan demikian panjang proyeksi vektor (a+b) pada c ialah :

    ⇒ |d| = (a+b) . c
    |c|
    ⇒ |d| = 30
    5√2

    ⇒ |d| = 3√2

    Jawaban : A

  1. Diberikan vektor a, b, dan c sebagai berikut :

    a = 1  , b = 2  dan c = 0
    1 2√2 q
    √2 p √2

    Jika panjang proyeksi vektor b pada a ialah 1 dan vektor b tegak lurus dengan vektor c, maka nilai p + q ialah …

    A. -2 D. 1
    B. -1 E. 2
    C. 0
    Pembahasan :
    Panjang proyeksi vektor b pada a sama dengan 1, maka :

    ⇒ 1 = b . a
    |a|
    ⇒ 1 = 2 + 2√2 + p√2
    √(12 + 12 + (√2)2)

    ⇒ 2 = 2 + 2√2 + p√2
    ⇒ 2 – 2 – 2√2 = p√2
    ⇒ -2√2 = p√2
    ⇒ p = -2

    Vektor b tegak lurus dengan vektor c, maka :
    ⇒ b . c = 0

    ⇒  2  .  0  = 0 
    2√2 q
    -2 √2
    ⇒ 0 + 2q√2 – 2√2 = 0
    ⇒ 2q√2 = 2√2
    ⇒ q = 1

    Dengan demikian  p +  q = -2 + 1 = -1.

    Jawaban : B