SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL METODE SUBSTITUSI

– Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) ialah sistem persamaan linear yang memiliki tiga variabel atau tiga peubah. Sistem persamaan linear tiga variabel terdiri dari tiga persamaan linear yang memiliki tiga peubah yang sama. Sama ibarat sistem persamaan linear dua variabel, sistem persamaan linear tiga variabel juga dapat diselesaikan dengan metode substitusi, metode eliminasi, dan metode determinan. Prinsip pengerjaannya juga sama dengan sistem persamaan linear dua variabel. Pada kesempatan ini, Bahan mencar ilmu sekolah akan membahas cara menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel menggunakan metode substitusi tapi sebelum membahas metode tersebut, ada baiknya kita mengenali terlebih dahulu bentuk umum dari sistem persaman linear tiga variabel.

Bentuk Umum SPLTV

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dapat diperluas menjadi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan penambahan sebuah peubah dan sebuah persamaan linear lainnya. Sesuai namanya, SPLTV terdiri dari tiga persamaan linear yang memiliki tiga variabel.

Perlu diingat bahwa pada sistem persamaan linear, ketiga persamaan penyusunnya memiliki variabel yang sama. Secara umum, sistem persamaan linear tiga variabel dalam peubah x, y, dan z memiliki bentuk umum sebagai berikut:

a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3

SUBTOPIK

Pada bentuk umum di atas, x, y, dan z ialah peubah sedangkan a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d3, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real yang menjadi pembeda antara satu persamaan dengan persamaan lainnya.

Bentuk umum SPLTV

Contoh sistem persamaan linear tiga variabel:
x – 2y + z = 6
7x- 6y – z = 10
3x + y – 2z = 4

Peubah atau variabel yang digunakan dalam SPLTV tidak harus x, y, dan z tetapi mampu juga menggunakan karakter lainnya, misalnya:
5a + 3b + c = 2
3a + 2b + c = 3
4a + 2b + c = 1

Sistem persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai peubah x, y, dan z yang berseseuaian biar ketiga persamaan penyusun SPLTV berlaku. Dengan kata lain, nilai x, y, dan z yang diperoleh harus memenuhi ketiga persamaan.

Misal nilai peubah yang memenuhi ketiga persamaan tersebut ialah x’, y’, dan z’, maka himpunan penyelesaian untuk sistem persamaan linear tiga variabel tersebut dapat dinyatakan dengan HP : {(x’, y’, z’)}.

Prinsip penyelesaian sistem persamaan lineat tiga variabel sama dengan sistem persamaan linear dua variabel. Intin pengerjaannya ialah mengubah bentuknya ke bentuk lebih sederhana lalu menentukan nilai salah satu peubah sampai nilai peubah lainnya juga diketahui.

Penyelesaian SPLTV Metode Substitusi

Metode substitusi untuk penyelesaian sistem persamaan linear tiga varaibel dilakukan dengan cara mensubstitusikan salah satu peubah yang diambil dari salah satu persamaan linear paling sederhana ke persamaan lainnya sampai diperoleh SPLDV.

Setelah diperoleh sistem persamaan linear dua varaibel, selanjutnya diselesaikan dengan prinsip yang sama pada penyelesaian SPLDV. Secara garis besar berikut langkah-langkah penyelesaian SPLTV dengan metode substitusi:
1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana
2. Nyatakan salah satu peubah sebagai fungsi peubah lain (misal x sebagai fungsi y dan z)
3. Substitusi peubah pada langkah kedua ke dua persamaan lainnya
4. Sederhanakan sehingga diperoleh SPLDV
5. Selesaikan SPLDV menggunakan metode substitusi.

Contoh Soal :
Dengan menggunakan metode substitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut ini:
x + y – z = -3
x + 2y + z = 7
2x + y + z = 4

Pembahasan :
Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan peubah x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut:
⇒ x + y – z = -3
⇒ x = -3 – y + z

Substitusi peubah x ke dalam persamaan kedua:
⇒ x + 2y + z = 7
⇒ (-3 – y + z) + 2y + z = 7
⇒ -3 + y + 2z = 7
⇒ y + 2z = 7 + 3
⇒ y + 2z = 10

Substitusi perubah x ke dalam persamaan ketiga:
⇒ 2x + y + z = 4
⇒ 2(-3 – y + z) + y + z = 4
⇒ -6 – 2y + 2z + y + z = 4
⇒ -y + 3z = 4 + 6
⇒ -y + 3z = 10

Kita peroleh SPLDV sebagai berikut:
y + 2z = 10
-y + 3z = 10

Selanjutnya kita selesaikan SPLDV di atas dengan cara substitusi. Pilih salah satu persamaan yang sederhana. Dari persamaan pertama kita peroleh:
⇒ y + 2z = 10
⇒ y = 10 – 2z

Substitusi peubah y ke dalam persamaan kedua:
⇒ -y + 3z = 10
⇒ -(10 – 2z) + 3z = 10
⇒ -10 + 2z + 3z = 10
⇒ 5z = 10 + 10
⇒ 5z = 20
⇒ z = 4

Substitusi z = 4 ke salah satu persamaan pada SPLDV:
⇒ y + 2z = 10
⇒ y + 2(4) = 10
⇒ y + 8 = 10
⇒ y = 10 – 8
⇒ y = 2

Selanjutnya, substitusi nilai x dan y ke dalam salah satu persamaan yang ada pada SPLTV:
⇒ x + y – z = -3
⇒ x + 2 – 4 = -3
⇒ x – 2 = -3
⇒ x = -3 + 2
⇒ x = -1

Jadi, himpunan penyelesaian SPLTV tersebut ialah {(-1, 2, 4)}.

Untuk memastikan bahwa nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, anda dapat mengeceknya dengan cara mensubstitusi nilai z, y, dan z ke dalam ketiga persamaan pada SPLTV.

Persamaan pertama:
⇒ x + y – z = -3
⇒ -1 + 2 – 4 = -3
⇒ -3 = -3 (Benar)

Persamaan kedua:
⇒ x + 2y + z = 7
⇒ -1 + 2(2) + 4 = 7
⇒ -1 + 4 + 4 = 7
⇒ 7 = 7 (Benar)

Persamaan ketiga:
⇒ 2x + y + z = 4
⇒ 2(-1) + 2 + 4 = 4
⇒ -2 + 2 + 4 = 4
⇒ 4 = 4 (Benar).

Berdasarkan pembuktian di atas, maka mampu dipastikan bahwa nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang diselesaikan.