SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN II

Sebelumnya telah dibahas mengenai nilai perbandingan trigonometri untuk sudut yang berada pada kuadran I dan II berdasarkan sudut relasinya. Pada halaman ini selanjutnya disajikan beberapa teladan soal mengenai nilai perbandingan trigonometri untuk sudut di kuadran II dan III dengan prinsip-prinsip perbandingan trigonometri sudut berelasi.

Seperti sebelumnya, poin penting yang harus kita perhatikan dalam adegan ini ialah tanda untuk nilai perbandingan trigonomertri. Ingat bahwa sudut yang berada di kuadran II, hanya perbandingan trigonometri sinus dan cosecan yang bernilai positif.

Sedangkan untuk sudut kuadran III, hanya tangen dan cotangen yang bernilai positif. Di bawah ini disajikan ilustrasi dan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut berelasi yang berada pada kuadran II dan III dengan rumus sudut (180o – α) dan (180o + α).

Trigonometri sudut (180o – α) dan (180o + α)

  1. Hitunglah nilai dari :
    a. sin 120o
    b. cos 135o
    c. tan 150o
    d. cosec 240o
    e. sec 225o
    f. cot 210o

    Pembahasan

    1. sin 120o = sin (180o – 60o)
      ⇒ sin 120o = sin 60o
      Jadi, sin 120o = ½√3.
    2. cos 135o = cos (180o – 45o)
      ⇒ cos 135o = -cos 45o
      Jadi, cos 135o = -½√2.
    3. tan 150o = tan (180o – 30o)
      ⇒ tan 150o = -tan 30o
      Jadi, tan 150o = -1/3.√3
    4. cosec 240o = cosec (180o + 60o)
      ⇒ cosec 240o = -cosec 60o
      Jadi, cosec 240o = -2/3.√3
    5. sec 225o = sec (180o + 45o)
      ⇒ sec 225o = -sec 45o
      Jadi, sec 225o = -√2
    6. cot 210o = cot (180o + 30o)
      ⇒ cot 210o = cot 30o
      Jadi, cot 210o = √3.

  2. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (180o + αo), hitunglah nilai dari setiap perbandingan trigonometri berikut ini!
    a. sin 225o
    b. cos 210o
    c. cos 240o
    d. tan 225o

    Pembahasan

    1. sin 225o = sin (180o + 45o)
      ⇒ sin 225o = -sin 45o
      Jadi, sin 225o = -½√2.
    2. cos 210o = cos (180o + 30o)
      ⇒ cos 210o = -cos 30o
      Jadi, cos 210o = -½√3.
    3. cos 240o = cos (180o + 60o)
      ⇒ cos 240o = -cos 60o
      Jadi, cos 240o = -½.
    4. tan 225o = tan (180o – 45o)
      ⇒ tan 225o = tan 45o
      Jadi, tan 225o = 1.
  3. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut pelurus!
    a. sin 142o
    b. cos 172o
    c. tan 129o
    d. sec 146o
    e. cosec 161o

    Pembahasan

    1. sin 142o = sin (180o – 38o)
      ⇒ sin 142o = sin 38o
      Jadi, sin 142o = sin 38o.
    2. cos 172o = cos (180o – 8o)
      ⇒ cos 172o = -cos 8o
      Jadi, cos 172o = -cos 8o 
    3. tan 129o = tan (180o – 51o)
      ⇒ tan 129o = -tan 51o
      Jadi, tan 129o = -tan 51o
    4. sec 146o = sec (180o – 34o)
      ⇒ sec 146o = -sec 34o
      Jadi, sec 146o = -sec 34o
    5. cosec 161o = cosec (180o – 19o)
      ⇒ cosec 161o = cosec 19o
      Jadi, cosec 161o = cosec 19o

  4. Sederhanakan setiap bentuk berikut.
    a. sec (90o – αo) / cosec (180o – αo)
    b. cot (90o + αo) / sec (180o – αo)
    c. sec (270o – αo) / cot (360o + αo)

    Pembahasan 

    1. sec (90o – αo) / cosec (180o – αo) = cosec αo / cosec αo
      ⇒ sec (90o – αo) / cosec (180o – αo) = 1 
       Jadi, sec (90o – αo) / cosec (180o – αo) = 1.
    2. cot (90o + αo) / sec (180o – αo) = -tan αo / -sec αo
      ⇒ cot (90o + αo) / sec (180o – αo) = (sin αo/cos αo) / (1/cos αo)
      Jadi, cot (90o + αo) / sec (180o – αo) = sin αo 
    3. sec (270o – αo) / cot (360o + αo) = -cosec αo / cot αo
      ⇒ sec (270o – αo) / cot (360o + αo) = -(1/sin αo) / (cos αo/sin αo)
      ⇒ sec (270o – αo) / cot (360o + αo) = -(1/cos αo
      ⇒ sec (270o – αo) / cot (360o + αo) = -sec αo 
      Jadi, sec (270o – αo) / cot (360o + αo) = -sec αo 

  5. Jika α, β, dan γ ialah sudut-sudut dalam segitiga ABC, tunjukkanlah bahwa : 
    a. sin ½(β + γ) = cos ½α
    b. cos ½(β + γ) = sin ½α
    c. tan ½(β + γ) = cot ½α

    Pembahasan
    Ingat bahwa dalam segitiga jumlah sudutnya sam dengan 180o, sehingga berlaku :
    α + β + γ = 180o , → β + γ = 180o – α.

    1. sin ½(β + γ) = cos ½α
      ⇒ sin ½(180o – α) = cos ½α
      ⇒ sin (90o – ½α) = cos ½α
      ⇒ cos ½α  = cos ½α
      Terbukti. 
    2. cos ½(β + γ) = sin ½α
      ⇒ cos ½(180o – α) = sin ½α
      ⇒ cos (90o – ½α) = sin ½α
      ⇒ sin ½α  = sin ½α
      Terbukti.
    3. rumus trigonometri

    4. tan ½(β + γ) = cot ½α
      ⇒  tan ½(180o – α) = cot ½α
      ⇒  tan (90o – ½α) = cot ½α
      ⇒  cot ½α = cot ½α
      Terbukti.