SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN III

Sebelumnya telah dibahas mengenai nilai perbandingan trigonometri untuk sudut yang berada pada kuadran II dan III berdasarkan sudut relasinya. Anda dapat membuka artikel tersebut melalui artikel terkait. Pada halaman ini selanjutnya disajikan beberapa teladan soal mengenai nilai perbandingan trigonometri untuk sudut di kuadran III dan IV dengan prinsip-prinsip perbandingan trigonometri sudut berelasi.

Poin penting yang harus kita perhatikan dalam adegan ini yaitu tanda untuk nilai perbandingan trigonomertri. Ingat bahwa untuk sudut yang berada di kuadran III, hanya perbandingan trigonometri tangen dan cotangen yang bernilai positif.

Sedangkan untuk sudut kuadran IV, hanya cosinus dan secan yang bernilai positif. Di bawah ini disajikan ilustrasi dan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut berelasi yang berada pada kuadran III dan IV.

Trigonometri Sudut (270o – α) dan (270o + α)

  1. Hitunglah nilai dari :
    a. sin 280o
    b. cos 295o
    c. tan 279o
    d. cosec 240o
    e. sec 225o
    f. cot 210o

    Pembahasan

    1. sin 280o = sin (270o + 10o)
      ⇒ sin 280o = -cos 10o
      Jadi, sin 120o = -cos 10o
    2. cos 295o = cos (270o + 25o)
      ⇒ cos 295o = sin 25o
      Jadi, cos 295o = sin 25o.
    3. tan 279o = tan (270o + 9o)
      ⇒ tan 279o = -cot 9o
      Jadi, tan 150o = -cot 9o.
    4. cosec 240o = cosec (270o – 30o)
      ⇒ cosec 240o = -sec 30o
      Jadi, cosec 240o = -2/3.√3
    5. sec 225o = sec (270o – 45o)
      ⇒ sec 225o = -cosec 45o
      Jadi, sec 225o = -√2
    6. cot 210o = cot (270o – 60o)
      ⇒ cot 210o = tan 60o
      Jadi, cot 210o = √3.

  2. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (270o – αo), hitunglah nilai dari setiap perbandingan trigonometri berikut ini!
    a. sin 225o
    b. cos 210o
    c. cos 240o
    d. tan 225o

    Pembahasan

    1. sin 225o = sin (270o – 45o)
      ⇒ sin 225o = -cos 45o
      Jadi, sin 225o = -½√2.
    2. cos 210o = cos (270o – 60o)
      ⇒ cos 210o = -sin 30o
      Jadi, cos 210o = -½√3.
    3. cos 240o = cos (270o – 30o)
      ⇒ cos 240o = -sin 30o
      Jadi, cos 240o = -½.
    4. tan 225o = tan (270o – 45o)
      ⇒ tan 225o = cot 45o
      Jadi, tan 225o = 1.
  3. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut lancip!
    a. sin 242o
    b. cos 272o
    c. tan 229o
    d. sec 246o
    e. cosec 261o

    Pembahasan

    1. sin 242o = sin (270o – 28o)
      ⇒ sin 242o = -cos 28o
      Jadi, sin 242o = -cos 28o.
    2. cos 272o = cos (270o + 2o)
      ⇒ cos 272o = sin 2o
      Jadi, cos 172o = sin 2o
    3. tan 229o = tan (270o – 41o)
      ⇒ tan 129o = cot 41o
      Jadi, tan 129o = cot 41o
    4. sec 246o = sec (270o – 24o)
      ⇒ sec 146o = -cosec 24o
      Jadi, sec 146o = -cosec 24o
    5. cosec 261o = cosec (270o – 9o)
      ⇒ cosec 161o = -sec 9o
      Jadi, cosec 161o = -sec 9o

  4. Sederhanakan setiap bentuk berikut.
    a. sec (270o – αo) / cosec (180o – αo)
    b. cot (270o + αo) / sec (180o – αo)
    c. sec (270o – αo) / cot (360o + αo)

    Pembahasan 

    1. sec (270o – αo) / cosec (180o – αo) = -cosec αo / cosec αo
      ⇒ sec (270o – αo) / cosec (180o – αo) = -1 
       Jadi, sec (270o – αo) / cosec (180o – αo) = -1.
    2. cot (270o + αo) / sec (180o – αo) = -tan αo / -sec αo
      ⇒ cot (90o + αo) / sec (180o – αo) = (sin αo/cos αo) / (1/cos αo)
      Jadi, cot (90o + αo) / sec (180o – αo) = sin αo 
    3. sec (270o – αo) / cot (360o + αo) = -cosec αo / cot αo
      ⇒ sec (270o – αo) / cot (360o + αo) = -(1/sin αo) / (cos αo/sin αo)
      ⇒ sec (270o – αo) / cot (360o + αo) = -(1/cos αo
      ⇒ sec (270o – αo) / cot (360o + αo) = -sec αo 
      Jadi, sec (270o – αo) / cot (360o + αo) = -sec αo 

  5. Jika jumlah α + β + γ yaitu 270o, tunjukkanlah bahwa : 
    a. sin (β + γ) = -cos α
    b. cos (α + γ) = -sin β
    c. tan (β + γ) = cot α

    Pembahasan
    α + β + γ = 270o , → β + γ = 270o – α.
    α + β + γ = 270o , → α + γ = 270o – β.

    1. sin (β + γ) = -cos α
      ⇒ sin (270o – α) = -cos α
      ⇒ -cos α  = -cos α
      Terbukti. 
    2. cos (α + γ) = -sin β
      ⇒ cos (270o – β) = -sin β
      ⇒ -sin β  = -sin β
      Terbukti.
    3. rumus trigonometri

    4. tan (β + γ) = cot α
      ⇒  tan (270o – α) = cot α
      ⇒  cot α = cot α
      Terbukti.