SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN IV

Sebelumnya telah dibahas mengenai nilai perbandingan trigonometri untuk sudut yang berada pada kuadran II dan III berdasarkan sudut relasinya. Pada halaman ini selanjutnya disajikan beberapa teladan soal mengenai nilai perbandingan trigonometri untuk sudut di kuadran IV berdasarkan prinsip perbandingan trigonometri sudut berelasi.

Seperti sebelumnya, poin penting yang harus kita perhatikan dalam episode ini ialah tanda untuk nilai perbandingan trigonomertri. Ingat bahwa untuk sudut yang berada di kuadran IV, hanya perbandingan trigonometri cosinus dan secan yang bernilai positif.

Rumus yang digunakan dalam perbandingan ini ialah rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (360o – α) dan (360o + α). Perhatikan bahwa sudut (360o – α) berada pada kuadran IV sedangkan sudut (360o + α) merupakan sudut yang kembali ke kuadran I sehingga semua perbandingan trigonometrinya bernilai positif.

Trigonometri sudut (n.360o – α) dan (n.360o + α)

  1. Hitunglah nilai atau nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut lancip.
    a. sin 340o
    b. cos 310o
    c. tan 325o
    d. cosec 330o
    e. sec 315o
    f. cot 300o

    Pembahasan

    1. sin 340o = sin (360o – 20o)
      ⇒ sin 340o = -sin 20o
      Jadi, sin 340o = -sin 20o.
    2. cos 310o = cos (360o – 50o)
      ⇒ cos 310o = cos 50o
      Jadi, cos 310o = cos 50o.
    3. tan 325o = tan (360o – 35o)
      ⇒ tan 325o = -tan 35o
      Jadi, tan 325o = -tan 35o.
    4. cosec 330o = cosec (360o – 30o)
      ⇒ cosec 330o = -cosec 30o
      Jadi, cosec 330o = -2.
    5. sec 315o = sec (360o – 45o)
      ⇒ sec 315o = sec 45o
      Jadi, sec 315o = √2
    6. cot 300o = cot (360o – 60o)
      ⇒ cot 300o = -cot 60o
      Jadi, cot 300o = -1/3.√3

  2. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (n.360o – αo), hitunglah nilai dari setiap perbandingan trigonometri berikut ini!
    a. sin 660o
    b. cos 1050o
    c. tan 1.395o

    Pembahasan

    1. sin 660o = sin (720o – 60o)
      ⇒ sin 660o = sin (2 . 360o + 60o)
      ⇒ sin 660o = -sin 60o
      Jadi, sin 660o = -½√3.
    2. cos 1050o = cos (1080o – 30o)
      ⇒ cos 1050o = cos (3 . 360o – 30o)
      ⇒ cos 1050o = cos 30o
      Jadi, cos 1050o = ½√3.
    3. tan 1.395o = tan (1.440o – 45o)
      ⇒ tan 1.395o = tan (4. 360o – 45o)
      ⇒ tan 1.395o = -tan 45o
      Jadi, tan 1.395o = -1.
  3. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (n.360o + αo), hitunglah nilai dari setiap perbandingan trigonometri berikut ini!
    a. sin 750o
    b. cos 765o
    c. tan 1.125o
    d. sec 750o
    e. cosec 1.140o

    Pembahasan

    1. sin 750o = sin (720o + 30o)
      ⇒ sin 750o = sin (2 . 360o + 30o)
      ⇒ sin 750o = sin 30o
      Jadi, sin 750o = ½.
    2. cos 765o = cos (720o + 45o)
      ⇒ cos 765o = cos (2 . 360o + 45o)
      ⇒ cos 765o = cos 45o
      Jadi, cos 765o = ½√2
    3. tan 1.125o = tan (1.080o + 45o)
      ⇒ tan 1.125o = tan (3 . 360o + 45o)
      ⇒ tan 1.125o = tan 45o
      Jadi, tan 1.125o = 1
    4. sec 750o = sec (720o + 30o)
      ⇒ sec 750o = sec (2 . 360o + 30o)
      ⇒ sec 750o = sec 30o
      Jadi, sec 750o = 2/3.√3
    5. cosec 1.140o = cosec (1.080o + 60o)
      ⇒ cosec 1.140o = cosec (3 . 360o + 60o)
      ⇒ cosec 1.140o = cosec 60o
      Jadi, cosec 1.140o = 2/3.√3

  4. Sederhanakan setiap bentuk berikut.
    a. sec (360o – αo) / cosec (270o – αo)
    b. cot (90o + αo) / sec (360o – αo)
    c. sec (270o – αo) / cot (360o – αo)

    Pembahasan 

    1. sec (360o – αo) / cosec (270o – αo) = sec αo / -sec αo
      ⇒ sec (360o – αo) / cosec (270o – αo) = -1 
       Jadi, sec (360o – αo) / cosec (270o – αo) = -1.
    2. cot (90o + αo) / sec (360o – αo) = -tan αo / sec αo
      ⇒ cot (90o + αo) / sec (360o – αo) = -(sin αo/cos αo) / (1/cos αo)
      Jadi, cot (90o + αo) / sec (360o – αo) = -sin αo 
    3. sec (270o – αo) / cot (360o – αo) = -cosec αo / -cot αo
      ⇒ sec (270o – αo) / cot (360o – αo) = (1/sin αo) / (cos αo/sin αo)
      ⇒ sec (270o – αo) / cot (360o – αo) = (1/cos αo
      ⇒ sec (270o – αo) / cot (360o – αo) = sec αo 
      Jadi, sec (270o – αo) / cot (360o – αo) = sec αo 

  5. Jika α + β + γ = 360o, tunjukkanlah bahwa : 
    a. sin (β + γ) = -sin α
    b. sin ½(β + γ) = sin ½α
    c. tan (β + γ) = -tan α

    Pembahasan
    Ingat bahwa dalam segitiga jumlah sudutnya sam dengan 180o, sehingga berlaku :
    α + β + γ = 360o , → β + γ = 360o – α.

    1. sin (β + γ) = -sin α
      ⇒ sin (360o – α) = -sin α
      ⇒ -sin α  = -sin α
      Terbukti. 
    2. sin ½(β + γ) = sin ½α
      ⇒ sin ½(360o – α) = sin ½α
      ⇒ sin (180o – ½α) = sin ½α
      ⇒ sin ½α  = sin ½α
      Terbukti.
    3. rumus trigonometri

    4. tan (β + γ) = -tan α
      ⇒  tan (360o – α) = -tan α
      ⇒  -tan α = -tan α
      Terbukti.