KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN PERSAMAAN KUADRAT

Soal-soal persamaan kuadrat umumnya tidak jauh dari konsep yang telah diajarkan di sekolah yaitu menentukan akar-akar dengan beberapa metode, menentukan nilai konstanta suatu persamaan kuadrat, diskriminan, sampai soal menentukan persamaan kuadrat baru. Untuk menjawab soal-soal persamaan kuadrat, beberapa rumus yang perlu dipahami antara lain bentuk umum persamaan kuadrat, rumus diskriminan, rumus pemfaktoran maupun rumus abc untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, serta bentuk umum persamaan kuadrat baru. Persamaan kuadrat gres umumnya memiliki akar-akar yang berelasi dengan akar-akar suatu persamaan kuadrat yang diketahui.

Soal dan Jawaban Persamaan Kuadrat

  1. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x – 5 = 0 yaitu x1 dan x2. Hitunglah nilai dari 1/x1 + 1/x2.
    Pembahasan 
    Dari persamaan kuadrat di soal dikertahui a = 3, b = 2, dan c = -5.
    x1 + x2 = -b/a
    ⇒ x1 + x2 = -2/3
    x1.x2 = c/a
    ⇒ x1 . x2 = -5/3
    1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2) / (x1.x2)
    ⇒ 1/x1 + 1/x2 = (-2/3) / (-5/3)
    ⇒ 1/x1 + 1/x2 = -2/3 . (-3/5)
    ⇒ 1/x1 + 1/x2 = 2/5
    ⇒ 1/x1 + 1/x2 = 0,4.

  2. Jika x1 dan x2 yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 – 6x – p = 0 dan x1 – x2 = 5, maka tentukanlah nilai p. 
    Pembahasan 
    Dari persamaan kuadrat di soal dikertahui a = 2, b = -6, dan c = -p.
    x1 – x2 = (√D) / a
    ⇒ (x1 – x2) a = √D
    ⇒ (x1 – x2) a = √(b2 – 4.a.c)
    ⇒ 5(2) = √(36 – 4.2.(-p)
    ⇒ 10 = √(36 + 8p)
    ⇒ 100 = 36 + 8p
    ⇒ 8p = 64
    ⇒ p = 8.

Read more : Menentukan Jenis dan Sifat Akar Persamaan Kuadrat.

  1. jika x1 dan x2 merupakan akar dari persamaan 32x + 33-2x – 28 = 0, maka tentukanlah jumlah kedua akar tersebut.
    Pembahasan 
    Untuk menyelesaikan soal ibarat ini, kita perlu mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan kuadrat yang sederhana.
    32x + 33-2x – 28 = 0; misalkan 32x = a
    ⇒ 32x + (33)/32x – 28 = 0
    ⇒ a + 27/a – 28 = 0
    ⇒ a2 – 27 – 28a = 0
    ⇒ a2 – 28a – 27 = 0
    ⇒ (a – 1)(a – 27) = 0
    ⇒ a = 1 atau a = 27
    Untuk a = 1, maka :
    32x = a
    ⇒ 32x =1
    ⇒ 32x = 30
    ⇒ 2x = 0
    ⇒ x1 = 0
    Untuk a = 27, maka :
    32x = a
    ⇒ 32x = 27
    ⇒ 32x = 33
    ⇒ 2x = 3
    ⇒ x2 = 3/2
    Jadi  x1 + x2 = 0 + 3/2 = 3/2.
  1. Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar  x1 dan x2. Jika persamaan kuadrat tersebut yaitu 2x2 – 3x – 5 = 0 , maka tentukanlah sebuah persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya -1/x1 dan -1/x2.
    Pembahasan
    Dari persamaan kuadrat di soal diketahui a = 2, b = -3, dan c = -5.
    x1 + x2 = -b/a
    ⇒ x1 + x2 = -(-3)/2
    ⇒ x1 + x2 = 3/2
    x1.x2 = c/a
    ⇒ x1.x2 = -5/2

    Persamaan kuadrat gres dapat ditentukan dengan rumus :
    x2 – (α + β)x + α.β = 0
    dengan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru.
    Pada soal diketahui α = -1/ x1  dan β = -1/x2.
    α + β = (-1/x1) + (-1/x2)
    ⇒ α + β = (-1/x1) – (1/x2)
    ⇒ α + β = (-x2 – x1) / (x1.x2)
    ⇒ α + β = – (x1 + x2) / (x1.x2)
    ⇒ α + β = -(3/2) / (-5/2)
    ⇒ α + β = 3/5

    α.β = -1/ x1 . (-1/x2)
    ⇒ α.β = 1/(x1.x2)
    ⇒ α.β = 1/ (-5/2)
    ⇒ α.β = -2/5

    Kaprikornus persamaan kuadrat yang akarnya -1/ x1 dan -1/x2 adalah :
    x2 – (α + β)x + α.β = 0
    ⇒ x2 – 3/5x + (-2/5) = 0 
    ⇒ x2 – 3/5x – 2/5 = 0
    ⇒ 5x2 – 3x – 2 = 0.

Read more : Pembahasan Soal Ujian Nasional Tentang Persamaan Kuadrat.

  1. Suatu persamaan kuadrat x2 – px + p + 1 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Jika diketahui x1 – x2 = 1, tentukanlah nilai p yang memenuhi persamaan tersebut.
    Pembahasan
    Diketahui : a = 1, b = -p, c = p + 1.
    x1 – x2 = (√D) / a
    ⇒ (x1 – x2) a = √D
    (x1 – x2) a= √(b2 – 4.a.c)
    ⇒ 1(1) = (p2 – 4.1.(p + 1))
    ⇒ 1 = √(p2 – 4p – 4)
    ⇒ 1 = p2 – 4p – 4
    p2 – 4p – 5 = 0
    ⇒ (p – 5)(p + 1) = 0
    ⇒ p = 5 atau p = -1.
  1. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x + 3 = 0 yaitu x1 dan x2. Tentukanlah persamaan kuadrat gres yang memiliki akar-akar (x1 – 2) dan (x2 – 2).

    Rumus Umum Persamaan Kuadrat

    rumus persamaan kuadrat

    Pembahasan
    Dari persamaan kuadrat di soal diketahui a = 1, b = 2, dan c = 3.
    x1 + x2 = -b/a
    ⇒ x1 + x2 = -2/1
    ⇒ x1 + x2 = -2
    x1.x2 = c/a
    ⇒ x1.x2 = 3/1
    ⇒ x1.x2 = 3

    Persamaan kuadrat gres dapat ditentukan dengan rumus :
    x2 – (α + β)x + α.β = 0
    dengan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru.
    Pada soal diketahui α = (x1 – 2)  dan β = (x2 – 2).
    α + β = (x1 – 2) + (x2 – 2)
    ⇒ α + β = (x1 + x2) – 4
    ⇒ α + β = -2 – 4
    ⇒ α + β = -6

    α.β = (x1 – 2)(x2 – 2)
    ⇒ α.β = x1.x2 – 2x1 – 2x2 + 4
    ⇒ α.β = x1.x2 – 2(x1 + x2) + 4
    ⇒ α.β = 3 – 2(-2) + 4
    ⇒ α.β = 3 + 4 + 4
    ⇒ α.β = 11

    Kaprikornus persamaan kuadrat yang akarnya (x1 – 2) dan (x2 – 2) adalah :
    x2 – (α + β)x + α.β = 0
    ⇒ x2 – (-6)x + 11 = 0 
    ⇒ x2 + 6x + 11 = 0