PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT EKSPLISIT

– Sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) ialah sistem persamaan yang terdiri dari sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat. Berdasarkan huruf persamaan kuadratnya, sistem persamaan linear dan kuadrat dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu SPLK dengan persamaan kuadrat eksplisit dan SPLK dengan persamaan kuadrat implisit. Persamaan dengan dua peubah x dan y dikatakan eksplisit jikalau persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Karena terdiri dari persamaan linear dan persamaan kuadrat, maka penyelesaian SPLK melibatkan beberapa metode yang telah dipelajari dalam persamaan linear dan persamaan kuadrat. Pada kesempatan ini, Bahan berguru sekolah akan membahas cara menentukan penyelesaian untuk sistem persamaan linear dan kuadrat dengan bentuk kuadrat bersifat eksplisit.

Bentuk Umum SPLK Eksplisit

Sistem persamaan linear dan kuadrat eksplisit merupakan sistem persamaan yang terdiri dari bab linear dan bab kuadrat yang berbentuk eksplisit. Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagai berikut:

y = ax + b          → Linear
y = px2 + qx + r → Kuadrat

Pada sistem persamaan di atas, x dan y ialah variabel atau peubah sedangkan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real. Pada beberapa buku mungkin menggunakan simbol yang berbeda tetapi bentuknya pasti sama.

Contoh SPLK Eksplisit:
y = x + 4     → Bagian linear
y = x2 + 2   → Bagian kuadrat

y = 2x + 3  → Bagian linear
y = x2         → Bagian kuadrat

y = 2x – 2   → Bagian linear
y = x2 – 1   → Bagian kuadrat.

Penyelesaian SPLK Eksplisit

Sistem persamaan linear dan kuadrat dengan bab kuadrat eksplisit dapat diselesaikan dengan cara membentuk persamaan kuadrat gres berdasarkan persamaan linearnya. Pembentukan ini dilakukan dengan cara mensubstitusi persamaan linear ke dalam persamaan kuadrat.

Baca Juga:  Kumpulan Rumus Eksponen

Saat persamaan lienar y = ax + b disubstitusikan ke dalam persamaan kuadrat y = px2 + qx + r, maka akan diperoleh bentuk persamaan kuadrat sebagai berikut:
⇒ y = px2 + qx + r
⇒ ax + b = px2 + qx + r
⇒ 0 = px2 + qx + r – ax – b
⇒ px2 + qx + r – ax – b = 0
⇒ px2 + (q – a)x + (r – b) = 0

Pada proses substitusi di atas, kita lihat dihasilkan bentuk persamaan kuadrat. Selanjutnya kita tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut untuk memperoleh nilai x. Setelah itu, kita substitusikan nilai x ke bab linear untuk menentukan nilai y.

Penyelesaian SPLK eksplisit

Dengan demikian, langkah penyelesaian SPLK Eksplisit adalah:
1. Substitusi bab linear ke bab kuadrat
2. Tentukan akar persamaan kuadrat yang terbentuk
3. Substitusi nilai akar yang diperoleh ke bab linear
4. Tentukan HP berdasarkan nilai x dan y yang diperoleh

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian untuk sistem persaman linear dan kuadrat berikut:
y = x – 4
y = x2 – 6

Pembahasan :
Langkah pertama substitusikan y = x – 4 ke bentuk y = x2 – 6 sehingga diperoleh persamaan kuadrat sebagai berikut:
⇒ y = x2 – 6
⇒ x – 4 = x2 – 6
⇒ 0 = x2 – 6 – x + 4
⇒ 0 = x2 – x – 2

Langkah kedua, tentukan akar dari persamaan kuadrat tersebut.
⇒ x2 – x – 2 = 0
⇒ (x – 2)(x + 1) = 0
⇒ x = 2 atau x = -1

Langkah ketiga, substitusi nilai x ke y = x – 4 untuk memperoleh nilai y. Karena nilai x ada dua, maka kita akan memperoleh dua nilai y juga.

Untuk x = 2
⇒ y = x – 4
⇒ y = 2 – 4
⇒ y = -2

Untuk x = -1
⇒ y = x – 4
⇒ y = -1 – 4
⇒ y = -5

Langkah terakhir tentukan himpunan penyelesaian SPLK berdasarkan nilai x dan y yang sudah diperoleh dari langkah sebelumnya. Dengan demikian, HP untuk SPLK tersebut ialah {(-1, -5), (2, -2)}.

Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut:
y = 2x + 2
y = x2 + 4x + 3

Baca Juga:  SOAL CERITA DAN JAWABAN PERSAMAAN KUADRAT

Pembahasan :
Substitusi y = 2x + 2 ke bab kuadrat:
⇒ y = x2 + 4x + 3
⇒ 2x + 2 = x2 + 4x + 3
⇒ 0 = x2 + 4x + 3 – 2x – 2
⇒ 0 = x2 + 2x + 1
⇒ x2 + 2x + 1 = 0

Tentukan akar persamaan kuadrat yang dihasilkan:
⇒ x2 + 2x + 1 = 0
⇒ (x + 1)(x + 1) = 0
⇒ x = -1

Substitusi nilai x = -1 ke bab linear:
⇒ y = 2x + 2
⇒ y = 2(-1) + 2
⇒ y = -2 + 2
⇒ y = 0

Jadi, himpunan penyelesaian untuk SPLK tersebut ialah {(-1, 0)}.